Beugungsgitter – Funktionsweise

Die fundamentale physikalische Charakteristik eines Beugungsgitters besteht in der lateralen Modulation des Brechungsindex (sog. Linien oder Rillen).

Diese beeinflussen die Amplitude, die Phase oder gleich beide Parameter einer elektromagnetischen Welle. Für solche Anordnungen periodischer lateraler Modulation des Brechungsindex gilt die Gittergleichung, die gleichermaßen für Transmissions- wie auch Reflexionsgitter gilt.

 

wobei d den Linienabstand des Gitters, 0i den Einfallswinkel und 0m den Beugungswinkel der m-ten Ordnung gemäß Abbildung darunter zeigt den Zusammenhang für die m-te Beugungsordnung. Reflexions- und Transmissionsgitter können weitgehend gleichermaßen behandelt werden. Im Rahmen der Arbeit wir verwendet für diesen Artikel kamen jedoch nur Reflexionsgitter zum Einsatz, so dass im Folgenden nur diese betrachten werden.

Die Intensitätsverteilung die durch ein gleichmäßig beleuchtetes Beugungsgitter in der Detektorebene hervorgerufen wird, kann mit Hilfe der Fouriertransformation beschreiben werden.

Dazu wird die Ebene x=0 (Koordinatensystem des Beugungsgitters siehe Abbildung darunter), also die Gitterebene als Ausgangspunkt gesehen. Es existiert lediglich in Richtung der y-Achse eine Perturbation des Brechungsindex, so dass die Verhältnisse im Folgenden der Einfachheit halber eindimensional dargestellt werden. Die relevanten Merkmale des idealen Beugungsgitters sind dessen Durchmesser D, sein Linienabstand d sowie die Form jeder einzelnen Rille bzw. Linie (z.B. Dreieck oder Sinus).

 

Optische Pfade in Transmissions- und Reflexionsgittern.

Optische Pfade in Transmissions- und Reflexionsgittern. Die Abbildungen zeigen die geometrischen Zusammenhänge bei der Beugung von Licht an einem Transmissions- (a) und bei einem Reflexionsgitter (b). Abhängig vom Linienabstand d und dem Einfallswinkel 0i resultiert für die m-te Beugungsordnung der Beugungswinkel 0m. Für diese Beugungsordnung gilt die Weglängendifferenz AB – CD = d · (sin0m – sin0i). Zudem ist in der linken oberen Ecke das Koordinatensystem des Beugungsgitters dargestellt

Die gleichförmige Beleuchtung eines Gitters mit dem Durchmesser D kann dann durch die Rechteckfunktion mit dieser Breite beschrieben werden (vergleiche Abbildung in Beugungsgitter – Konkave Beugungsgitter). Dies stellt die sogenannte Aperturfunktion dar.

Die Linie können als unendlich ausgedehnter Dirac-Kamm mit dem Abstand d modelliert werden. Das Gitter kann als Multiplikation dieser beiden ursprünglichen Funktionen beschrieben werden. Die Fouriertransformierte der Rechteckfunktion ist die Spaltfunktion. Die Fouriertransformierte des Kamms ist wiederum ein Dirac-Kamm, allerdings mit dem inversen Abstand. In der Fourierebene wird die Intensitätsverteilung demnach durch eine Faltung der Spaltfunktion mit dem Dirac-Kamm beschrieben.

Darüber hinaus ist die Rillenform von Bedeutung. Die Gitterform wird durch die Rillenform moduliert. Das bedeutet zum Beispiel eine Faltung mit der Dreiecksfunktion. Da der Abstand der Linien in der Größenordnung der Wellenlänge ist, kann die Einhüllende in der Detektorebene (unter Beachtung des Hyugens-Prinzips) jedoch nicht als deren Fouriertransformierte beschrieben werden. In der Detektorebene ergibt sich die Intensitätsverteilung durch Multiplikation mit der Einhüllenden.

 

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